Modelli Geometrici per spazi Musicali

a cura di Mattia G. Bergomi
orbifold

 

 

 

 

Lo spazio delle triadi.
Gli orbifold sono enti geometrici
che permettono di rappresentare
l’armonia in maniera naturale.

mebius

Perché un compositore sceglie determinati accordi e non altri? Perché la musica europea si basa sul temperamento equabile? Come si spiega il fatto che comprendiamo tanto le modulazioni ben preparate di Vivaldi, quanto quelle più inaspettate del Jazz?
Credo che siano state queste domande (oltre a mille altre) che hanno spinto nel corso degli anni gli scienziati e i teorici a cercare di analizzare la musica prendendo in prestito degli strumenti formali dall’algebra e dalla geometria, per poter modellizzare la musica attraverso procedimenti oggettivi. La premessa davanti a questo tipo di ricerca scientifica è che i nuovi strumenti non tradiscano l’intuizione del compositore, ma semplicemente restituiscano una nuova possibile visione di un brano musicale, che permetta tramite analisi di dedurre importanti informazioni che potrebbero sfuggire all’ascolto.
Con un semplice esperimento è possibile capire quanto cambiare l’approccio di analisi a un problema possa rivelarsi utilie: disegnate un rettangolo con il lato corto e quello lungo differenti di solo mezzo millimetro. Quasi nessuno sarà in grado di dirvi a prima vista che si tratta di un rettangolo e non un quadrato, ma se associaste ai due lati una frequenza udibile, sarebbe proprio la loro piccola differenza a generare un’orrenda cacofonia rendendo palese il fatto che non si tratti di un quadrato i cui lati, al contrario, produrrebbero un unisono.
Nei prossimi paragrafi cercherò di introdurre le tecniche di base con cui è possibile rappresentare geometricamente alcuni oggetti musicali, rispettando le esigenze formali che la matematica impone.
Per creare un modello è necessario ridurre il problema che si vuole affrontare. La prima semplificazione che dobbiamo mettere in atto è sul numero di note da trattare, sarebbe estremamente difficile avere a che fare con tutte le note che si trovano su un pianoforte, per questo motivo possiamo rappresentare tutte le ottave  su un’unica circonferenza:

pianoforte

Figura 1: due ottave su un pianoforte. La distanza da C1 a C2 è esattamente un’ottava su un pianoforte

Untitled

Figura 2: le classi delle note.

 

 

 

 

 

 

A ogni nota rappresentata sulla circonferenza in notazione anglosassone (C corrisponde a DO, D a RE e così via), è possibile associare un numero: C=0, C#=1, D=2,…, B=11. Ciò che otteniamo è un orologio dove tutte le ottave sono rappresentate simultaneamente, ad esempio a C1 e a C2 rappresentati in figura 1, assoceremo sempre il numero 0.
Da questa semplice rappresentazione possiamo dedurre, ad esempio, quale sia l’accordo composto da quattro note che si dispone nella maniera meglio distribuita rispetto alla circonferenza: è sufficiente partire da C=0 e dividere la circonferenza in quattro spicchi identici ottenendo così  un accordo diminuito (settima diminuita).

Figura 3

Figura 3

Da questa prima analisi è possibile vedere dedurre immediatamente come gli accordi diminuiti siano invarianti per trasposizione di terze minori. L’interpretazione di questa frase esotica è molto semplice se osserviamo la circonferenza: considerando tutti gli accordi costruiti è chiaro che ruotandoli di 90° otterremo ancora lo stesso accordo e le note disteranno sempre l’una dall’altra di tre “passi” sulla circonferenza, in musica questa distanza si dice terza minore. Ecco come la geometria possa farci capire con una semplice visualizzazione, una proprietà nascosta di questo tipo di accordi considerati esoterici dai non musicisti.

Figura 4: Do maggiore (in rosso) e il suo primo rivolto (in verde).

Figura 4: Do maggiore (in rosso) e il suo primo rivolto (in verde).

Nello spazio che abbiamo appena costruito ogni punto rappresenta una singola nota, ma è possibile rappresentare in un solo punto un intero accordo, molto di più in realtà, classi di accordi.
Per introdurre queste rappresentazioni molto più complesse, dobbiamo ricorrere a un’ulteriore semplificazione. In musica l’ordine in cui disponiamo le note di un accordo lo identifica all’interno dei suoi rivolti. È molto semplice capire con un esempio. Consideriamo l’accordo di Do maggiore (Do, Mi, Sol), dove le note sono disposte dalla più grave alla più acuta, il primo rivolto di questo accordo è dato da (Mi, Sol, Do), dove il nuovo Do è quello all’ottava superiore rispetto al primo che abbiamo considerato. Già con la prima semplificazione abbiamo rinunciato alle ottave, dunque per coerenza, creando uno spazio in cui vivono gli accordi, dobbiamo rinunciare a distinguere tra i rivolti. Esaminiamo il caso più semplice.

Lo spazio degli intervalli è quello in cui ogni punto rappresenta due note suonate contemporaneamente. Rinunciare ai rivolti in questo caso significa fare in modo che l’intervallo (Do, Mi) sia identificato con (Mi, Do). Per fare questo, potete immaginare di rappresentare su un piano gli intervalli come coppie di note, ad esempio l’unisono (Do, Do) è rappresentabile come la coppia (0,0), mentre l’intervallo (Do, Mi)=(0,4), che come coppia ordinata è diverso da (Mi, Do)=(4,0). Non ci rimane che procedere come illustrato nell’immagine seguente tratta dal testo  “The Geometry of Musical Chords”, di Dmitri Tymoczko [Science 313 (2006)]:

Figura 5: identificazione di ogni intervallo con il suo rivolto.

Figura 5: identificazione di ogni intervallo con il suo rivolto.

Il piano cartesiano viene ripiegato su se stesso creando lungo la diagonale una singolarità. Cercando di andare dal punto (0,3) al punto (5,2) lungo una retta, a causa della forma che abbiamo dato al piano saremo costretti a “rimbalzare” e tornare al punto (2,5), identificando in questo modo ogni intervallo con il suo rivolto. È possibile dare una rappresentazione geometrica dello spazio degli intervalli nella sua totalità?

Figura 6: lo spazio degli intervalli.

Figura 6: lo spazio degli intervalli.

Quello che vedete non è solo un rettangolo, ma un nastro di Möbius costruito facendo incollando i lati verticali del rettangolo facendo combaciare i vertici etichettati con lo stesso intervallo. Ecco quindi come una superficie possa ben rappresentare gli intervalli musicali. Da qui è facile immaginare come sia possibile estendere il ragionamento alle triadi (accordi di tre note) e alle quadriadi. Nei video seguenti è possibile osservare gli spazi di cui abbiamo parlato siano effettivamente in grado di rappresentare efficacemente un brano musicale.

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